Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=1，a_n+1=2S_n+1，（n∈N﹡），数列{b_n}满足b_n=2log₃a_n+3，（n∈N^*）．
（1）求a_n，b_n；
（2）求数列{a_nb_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（1）由a_n+1=2S_n+1，得a_n=2S_n-1+1，（n≥2），两式相减，易得{a_n}是首项为1，公比为3的等比数列，可得通项公式，进而可得b_n；
（2）由数列a_nb_n=（2n+1）3^n-1可用错位相减法来求和．

解答：解：（1）由a_n+1=2S_n+1，得a_n=2S_n-1+1，（n≥2）
两式相减，得a_n+1-a_n=2a_n，a_n+1=3a_n，（n≥2）
又a₂=2S₁+1，∴a₂=3a₁．解得a₁=1
所以{a_n}是首项为1，公比为3的等比数列．
∴an=3n-1∴bn=2log3an+3=2n+1
（2）由（1）知：a_nb_n=（2n+1）3^n-1
∴Tn=3×1+5×3+7×32+…+(2n+1)×3n-1
3T_n=3×3+5×3²+…+（2n-1）×3^n-1+（2n+1）×3ⁿ
∴2Tn=-3-2×3-2×32-…-2×3n-1+(2n+1)×3n
=-3+

-6(1-3n-1)

1-3

+(2n+1)×3n
∴Tn=n×3n

点评：本题为等差等比数列的综合应用，用好错位相减法是解决问题的关键，属中档题．