Question

设y=f（x）为三次函数，且图象关于原点对称，当x=

1

2

时，f（x）的极小值为-1．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）证明：当x∈（1，+∞）时，函数f（x）图象上任意两点的连线的斜率恒大于0．

Answer 1

分析：（1）先利用待定系数法设出f（x）的解析式，再根据奇偶性以及极值建立等式关系，求出参数即可；
（2）先利用导数研究函数在（1，+∞）上的单调性，任设两点并规定大小，表示出斜率即可判断符号．

解答：解：（Ⅰ）设f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0）
∵其图象关于原点对称，即f（-x）=-f（x）
得-ax³+bx²-cx+d=-ax³-bx²-cx-d
∴b=d=0，
则有f（x）=ax³+cx
由f′（x）=3ax²+c，依题意得f′（

1

2

）=0
∴

3

4

a+c=0①
f（

1

2

）=

1

8

a+

1

2

c=-1②（5分）
由①②得a=4，c=-3故所求的解析式为：f（x）=4x³-3x．（6分）
（Ⅱ）由f′（x）=12x²-3＞0
解得：x＞

1

2

或x＜-

1

2

（8分）
∵（1，+∞）?（

1

2

，+∞）
∴x∈（1，+∞）时，函数f（x）单调递增；（10分）
设（x₁，y₁），（x₂，y₂）是x∈（1，+∞）时，
函数f（x）图象上任意两点，
且x₂＞x₁，则有y₂＞y₁
∴过这两点的直线的斜率k=

y2-y1

x2-x1

＞0．（12分）

点评：本题主要考查了利用导数研究函数的极值，以及直线的斜率的求解，属于基础题．