题目内容
已知等比数列{an}的公比q＞1，且a1与a4的一等比中项为4| 2 |
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn=log2an，求数列{an•bn}的前n项和Tn；
（3）设Sn为数列{an}的前n项和，cn=Sn+3+（-1）n+1an2（n∈N*），请比较cn与cn+1的大小，并加以说明．
分析：（1）利用等比数列的性质得到a2•a3=a1•a4，根据已知条件列出关于a2，a3的方程解方程求出a2，a3，进一步求出公比，利用等比数列的通项公式求出数列{an}的通项公式
（2）求出数列{an•bn}的通项，根据其特点是一个等差数列与一个等比数列的积，利用错位相减法求出其和．
（3）利用等比数列的前n项和公式求出Sn，将其带代入cn，表示出cn+1，作差通过对差的变形，对n的讨论得到差的符号，进一步比较出两个数的大小．
（2）求出数列{an•bn}的通项，根据其特点是一个等差数列与一个等比数列的积，利用错位相减法求出其和．
（3）利用等比数列的前n项和公式求出Sn，将其带代入cn，表示出cn+1，作差通过对差的变形，对n的讨论得到差的符号，进一步比较出两个数的大小．
解答：解：（1）由题意得
，
解得
或
由公比q＞1，可得a2=4，a3=8，q=
=2
故数列{an}的通项公式为an=a2qn-2=2n
（2）an•bn=n•2n
Tn=1•2+2•22+3•23+…+n•2n①
2Tn=，1•22+2•23+…+（n-1）•2n+n•2n+1②
①-②得Tn=（n-1）•2n+1+2
（3）a1=2，Sn=
=2n+1-2
cn=Sn+3+（-1）nan2=（2n+4-2）+（-1）n+122n，
cn+1=（2n+5-2）+（-1）n22（n+1），
cn+1-cn=2n[16+5（-1）n2n]．
当n=1或为正偶数时，cn+1-cn＞0，
cn+1＞cn；
当n正奇数且n≥3时，cn+1-cn=2n（16-5×2n）≤2n（16-5×23）＜0，
cn+1＜cn..
|
解得
|
|
由公比q＞1，可得a2=4，a3=8，q=
| a3 |
| a2 |
故数列{an}的通项公式为an=a2qn-2=2n
（2）an•bn=n•2n
Tn=1•2+2•22+3•23+…+n•2n①
2Tn=，1•22+2•23+…+（n-1）•2n+n•2n+1②
①-②得Tn=（n-1）•2n+1+2
（3）a1=2，Sn=
| 2(1-2n) |
| 1-2 |
cn=Sn+3+（-1）nan2=（2n+4-2）+（-1）n+122n，
cn+1=（2n+5-2）+（-1）n22（n+1），
cn+1-cn=2n[16+5（-1）n2n]．
当n=1或为正偶数时，cn+1-cn＞0，
cn+1＞cn；
当n正奇数且n≥3时，cn+1-cn=2n（16-5×2n）≤2n（16-5×23）＜0，
cn+1＜cn..
点评：求数列的前n项和的问题，一般先求出通项，判断出通项的特点，利用合适的求和方法求出前n项和，常用的求和方法有：公式法、到序相加法、错位相减法、裂项求和法、分组法．
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