Question

已知f（x）=

ax+b

x2+1

为定义在R上的奇函数，且f（1）=

1

2

（1）求f（x）的解析式；
（2）判断并证明y=f（x）在（-1，0）上的单调性．

Answer 1

（1）因为f（x）=

ax+b

x2+1

为定义在R上的奇函数，且f（1）=

1

2

，
所以

f(0)=0 f(1)= 1 2

，即

b=0 a+b 2 = 1 2

，解得：

a=1 b=0

．
所以，f（x）=

x

x2+1

．
（2）f(x)=

x

x2+1

在（-1，0）上为单调增函数．
证明：任取x₁，x₂∈（-1，0）且x₁＜x₂
则f(x1)-f(x2)=

x1

x12+1

-

x2

x22+1

=

x1x22+x1-x2x12-x2

(x12+1)(x22+1)

=

(1-x1x2)(x1-x2)

(x12+1)(x22+1)

．
因为x₁，x₂∈（-1，0）且x₁＜x₂，
所以1-x₁x₂＞0，x₁-x₂＜0．
所以，f(x1)-f(x2)=

(1-x1x2)(x1-x2)

(x12+1)(x22+1)

＜0．
即f（x₁）＜f（x₂）．
所以，函数y=f（x）在（-1，0）上的单调递增．