Question

设x₁、x₂是关于x的方程x²+mx+m²-m=0的两个不相等的实数根，那么过两点A（x₁，

x

2 1

），B（x2，

x

2 2

）的直线与圆（x-1）²+（y-1）²=1的位置关系是（　　）

A．相离

B．相切

C．相交或相切

D．相离或相切

Answer 1

分析：根据韦达定理可得x₁+x₂=-m，x₁x₂=m²-m，求出直线方程，利用圆心到直线的距离与半径进行比较可判定直线与圆的位置关系．

解答：解：∵x₁、x₂是关于x的方程x²+mx+m²-m=0的两个不相等的实数根，
∴m²-4（m²-m）＞0，即0＜m＜

4

3

，
∴x₁+x₂=-m，x₁x₂=m²-m，消去x₂得-（-m-x₁）x₁=m²-m，
由A（x₁，x12），B（x₂，x22），
则直线AB的斜率k=

x 2 2 -x 2 1

x2-x1

=x₁+x₂=-m，
∴直线AB的方程为y-x₁²=-m（x-x₁），即mx+y-mx₁-x₁²=0，
又圆心坐标为（1，1），半径r=1，
∴圆心到直线AB的距离d=

|m+1-mx1 -x 2 1 |

1+m2

=

|1+m2|

1+m2

=

1+m2

＞1
则直线AB与圆（x-1）²+（y-1）²=1相离．
故选A．

点评：本题主要考查了直线与圆的位置关系的判定，利用圆心到直线的距离与半径进行比较是判定直线与圆的位置关系的常用方法，属于中档题．