Question

已知函数f（x）=log_a（1-x）+log_a（x+3），其中0＜a＜1．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）若函数f（x）的最小值为-4，求a的值．

Answer 1

分析：（1）只要使1-x＞0，x+3＞0同时成立即可；
（2）先把f（x）化为f（x）=loga[(-(x+1)2+4]，再由二次函数性质及对数函数的单调性可求出f（x）的最小值，根据最小值为-4，列方程解出即可．

解答：解：（1）要使函数有意义：则有

1-x＞0 x+3＞0

，解得-3＜x＜1，
所以函数f（x）的定义域为（-3，1）．
（2）f（x）=log_a（1-x）+log_a（x+3）=log_a（1-x）（x+3）=loga(-x2-2x+3)=loga[(-(x+1)2+4]，
∵-3＜x＜1，∴0＜-（x+1）²+4≤4，
∵0＜a＜1，∴loga[(-(x+1)2+4]≥log_a4，即f（x）_min=log_a4；
由log_a4=-4，得a^-4=4，
∴a=4-

1

4

=

2

2

．

点评：本题考查对数函数的图象及性质，考查二次函数的最值求解，考查学生分析问题解决问题的能力．