Question

已知函数f（x）=a^x+1-3（a＞0且a≠1）的反函数的图象恒过定点A，且点A在直线mx+ny+1=0上，若m＞0，n＞0．则

1

m

+

2

n

的最小值为

 

．

Answer 1

分析：最值问题经常利用均值不等式求解，适时应用“1”的代换是解本题的关键．函数y=a^x+1-3（a＞0，a≠1）的反函数图象恒过定点A，知A（-2，-1），点A在直线mx+ny+1=0上，得2m+n=1又mn＞0，∴m＞0，n＞0，下用1的变换构造出可以用基本不等式来求求最值．

解答：解：由已知定点A坐标为（-2，-1），由点A在直线mx+ny+1=0上，
∴-2m-n+1=0，即2m+n=1，
又mn＞0，∴m＞0，n＞0，
∴

1

m

+

2

n

=(

1

m

+

2

n

)(2m+n)=

2m+n

m

+

4m+2n

n

=4+

n

m

+

4m

n

≥4+2•

n m • 4m n

=8，
当且仅当m=

1

4

，n=

1

2

时取等号．
故答案为8

点评：当均值不等式中等号不成立时，常利用函数单调性求最值．也可将已知条件适当变形，再利用均值不等式，使得等号成立．均值不等式是不等式问题中的确重要公式，应用十分广泛．在应用过程中，学生常忽视“等号成立条件”，特别是对“一正、二定、三相等”这一原则应有很好的掌握．