Question

已知函数f(x)=

3

2

sin2x-cos2x-

1

2

，x∈R．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小值和最小正周期；
（Ⅱ）设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且c=

3

，f(C)=0，若b=2a，求a，b的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用三角恒等变换公式对函数的解析式进行化简，再根据函数的性质求最小值与用求周期的公式求周期．
（Ⅱ）利用三角恒等变换公式对函数的解析式进行化简求角，再利用余弦定理建立方程与b=2a联立求出a，b的值．

解答：解：（Ⅰ）f(x)=

3

2

sin2x-

1+cos2x

2

-

1

2

=sin(2x-

π

6

)-1
则f（x）的最小值是-2，最小正周期是T=

2π

2

=π；（7分）
（Ⅱ）f(C)=sin(2C-

π

6

)-1=0，则sin(2C-

π

6

)=1，
∵0＜C＜π∴-

π

6

＜2C-

π

6

＜

11π

6

∴2C-

π

6

=

π

2

，C=

π

3

，
由余弦定理，得c2=a2+b2-2abcos

π

3

，即3=a²+b²-ab，
又∵b=2a解得a=1，b=2．（14分）

点评：本题考查余弦定理，解本题的关键是利用余弦定理建立关于参数的方程，本题中涉及到了三角恒等变换，求三角函数的最小值，周期，知识性较强，解题时要注意准确利用知识变形求值．