Question

已知数列{a_n}的前n项和Sn=1-nan(n∈N*)．
（1）计算a₁，a₂，a₃，a₄；
（2）猜想a_n的表达式，并用数学归纳法证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）由S_n与a_n的关系，我们从n=1依次代入整数值，即可求出a₁，a₂，a₃，a₄；
（2）由a₁，a₂，a₃，a₄的值与n的关系，我们归纳推理出数列的通项公式，观察到它们是与自然数集相关的性质，故可采用数学归纳法来证明．

解答：解：（1）计算得a1=

1

2

；a2=

1

6

；a3=

1

12

；a4=

1

20

．
（2）猜测：an=

1

n(n+1)

．下面用数学归纳法证明
①当n=1时，猜想显然成立．
②假设n=k（k∈N^*）时，猜想成立，
即ak=

1

k(k+1)

．
那么，当n=k+1时，S_k+1=1-（k+1）a_k+1，
即S_k+a_k+1=1-（k+1）a_k+1．
又Sk=1-kak=

k

k+1

，
所以

k

k+1

+ak+1=1-(k+1)ak+1，
从而ak+1=

1

(k+1)(k+2)

=

1

(k+1)[(k+1)+1]

．
即n=k+1时，猜想也成立．
故由①和②，可知猜想成立．

点评：本题（2）中的证明要用到数学归纳法，数学归纳法常常用来证明一个与自然数集N相关的性质，其步骤为：设P（n）是关于自然数n的命题，若1）（奠基） P（n）在n=1时成立；2）（归纳） 在P（k）（k为任意自然数）成立的假设下可以推出P（k+1）成立，则P（n）对一切自然数n都成立．