Question

设f(x)＝ex－1.当a＞ln 2－1且x＞0时，证明：f(x)＞x2－2ax.

Answer 1

证明：欲证f(x) ＞x2－2ax，即ex－1 ＞x2－2ax，

也就是ex－x2＋2ax－1＞0.

可令u(x)＝ex－x2＋2ax－1，则u′(x)＝ex－2x＋2a.

令h(x)＝ex－2x＋2a，则h′(x)＝ex－2.

当x∈(－∞，ln 2)时，h′(x)＜0，函数h(x)在(－∞，ln 2]上单调递减，当x∈(ln 2，＋∞)时，h′(x)＞0，函数h(x)在[ln 2，＋∞)上单调递增．

所以h(x)的最小值为h(ln 2)＝eln 2－2ln 2＋2a

＝2－2ln 2＋2a.

因为a＞ln 2－1，所以h(ln 2) ＞2－2ln 2＋2(ln 2－1)＝0，即h(ln 2)＞0.

所以u′(x)＝h(x)＞0，即u(x)在R上为增函数．

故u(x)在(0，＋∞)上为增函数．所以u(x)＞u(0)．

而u(0)＝0，所以u(x)＝ex－x2＋2ax－1＞0.

即当a＞ln 2－1且x＞0时，f(x)＞x2－2ax.