Question

已知数列{a_n}的前n项和Sn=

1

2

n(n-1)，且a_n是b_n与1的等差中项．
（1）求数列{a_n}和数列{b_n}的通项公式；
（2）若cn=

1

nan

(n≥2)，求c₂+c₃+c₄+…+c_n；
（3）若f(n)=

an，n=2k-1 bn，n=2k

(k∈N*)，是否存在n∈N*使得f（n+11）=2f（n），并说明理由．

Answer 1

（1）当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=

1

2

n（n-1）-

1

2

（n-1）（n-2）=n-1，
把n=1代入验证，满足通项公式，
则a_n=n-1，又a_n是b_n与1的等差中项，
则b_n=2a_n-1=2（n-1）-1=2n-3；
（2）因为a_n=n-1，
所以cn=

1

n(n-1)

=

1

n-1

-

1

n

(n≥2)，
则c₂+c₃+c₄+…+c_n=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

…+

1

n-1

-

1

n

=1-

1

n

；
（3）不存在，理由为：
当n是奇数时，n+11为偶数，
此时f（n）=a_n=n-1，f（n+11）=b_n+11=2n+19，
由f（n+11）=2f（n）知无解；
当n是偶数时，n+11为奇数，
此时f（n）=b_n=2n-3，f（n+11）=a_n+11=n+10，
由f（n+11）=2f（n）知无解，
所以满足题意的n不存在．