Question

13．已知圆x²+y²=8内有一点M（-1，2），AB为经过点M且倾斜角为α的弦．
（1）当弦AB被点M平分时，求直线AB的方程；
（2）当α=$\frac{3π}{4}$时，求弦AB的长．

Answer 1

分析 （1）当弦AB被点M平分时，OM⊥AB，求出直线斜率即可求直线AB的方程；
（2）当α=$\frac{3π}{4}$时，求出直线斜率和方程，根据直线与圆相交的弦长公式进行求解即可．

解答 解：（1）当弦AB被点M平分时，OM⊥AB，${k_{OM}}=\frac{2}{-1}=-2$，
直线AB的斜率$k=\frac{1}{2}$．所以直线AB的方程为：$y-2=\frac{1}{2}（x+1）$，即x-2y+5=0…（4分）
（2）当$α=\frac{3π}{4}$时，直线AB的斜率$k=tanα=tan\frac{3π}{4}=-1$，
直线AB的方程为：y-2=-1•（x+1），即x+y-1=0．…（6分）
圆心O（0，0）到直线x+y-1=0的距离为$d=\frac{|-1|}{{\sqrt{2}}}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，…（8分）
所以弦AB的长$|AB|=2\sqrt{{r^2}-{d^2}}=\sqrt{30}$．…（10分）

点评 本题主要考查直线和圆相交的位置关系的应用，以及弦长公式，考查学生的计算能力．