Question

已知动圆与直线相切且与圆：外切。

（1）求圆心的轨迹方程；

（2）过定点作直线交轨迹于两点，是点关于坐标原点的对称点，求证：；

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）详见解析．

【解析】

试题分析：（1）令点坐标为，，动圆得半径为，则根据两圆相外切及直线与圆相切得性质可得，，，即，即，化简可求动圆圆心的轨迹C的方程，也可根据题意动圆圆心到定点和到定直线的距离相等，由抛物线的定义可直接求；（2）求证：；由题意是点关于坐标原点的对称点，设直线的斜率分别为，只要证明，即证即可，因此可设直线的方程为，将直线方程代入得，，有根与系数关系，可证得．

试题解析：（1）法1：根据题意动圆圆心到定点和到定直线的距离相等,根据抛物线的定义可知，动圆圆心的轨迹C的方程为.   5分

法2：设，则，即得. 5分

（2）依题意，设直线的方程为，则两点的坐标满足方程组:消去并整理，得,

设直线AE和BE的斜率分别为，则:

考点：圆锥曲线的轨迹问题，直线与二次曲线位置关系．