题目内容
已知数列{an}满足：a1=
，且an=
（n≥2，n∈N*）（1）求数列{an}的通项公式；
（2）证明：对于一切正整数n，不等式a1·a2·…·an＜2n！恒成立.
（1）解:将条件变为1-=，因此{1-}为一个等比数列，其首项为1-
，公比
，从而1-
=
，据此得an=
（n≥1）.①
（2）证明：据①得a1·a2·…·an=
要证a1·a1·…·an＜2n！只要证n∈N*时有（1-
）（1-
）…（1-
）＞
②
显然，左端每个因式都是正数，先证明，对每个n∈N*，有
（1-
）（1-
）…（1-
）≥1-（
+
+…+
）③
用数学归纳法证明③式：a.n=1时，③式显然成立，
b.设n=k时，③式成立，
即（1-
）（1-
）…（1-
）≥1-（
+
+…+
），
则当n=k+1时，
（1-
）（1-
）…（1-
）（1-
）≥〔1-（
+
+…+
）〕（1-
）=1-（
+
+…+
）-
+
（
+
+…+
）≥1-（
+
+…+
+
），
即当n=k+1时，③式也成立。故对一切n∈N*，③式都成立。
利用③得（1-
）（1-
）…（1-
）≥1-（
+
2+…+
）=
=1-
〔1-（
）n〕=
+
（
）n＞
故②式成立，从而结论成立.
练习册系列答案
相关题目