Question

如图，直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的高为3，底面是边长为4且∠DAB=60°的菱形，AC∩BD=O，A₁C₁∩B₁D₁=O₁，则二面角O₁-BC-D的大小为

60°

．

Answer 1

分析：作OF⊥BC，连接O₁F，由O₁O⊥平面ABCD及三垂线定理可得BC⊥O₁F，利用二面角的定义可得∠O₁FO是二面角O₁-BC-D的平面角．再利用菱形的性质及含30°角的直角三角形的性质可得出OF，进而即可得出答案．

解答：解：作OF⊥BC，连接O₁F，O₁O．
∵O₁O⊥平面ABCD，∴BC⊥O₁F．
∴∠O₁FO是二面角O₁-BC-D的平面角．
在Rt△OBF中，∵BC=4，∠OBF=60°，
∴OF=

3

．
在Rt△O₁OF中，tan∠O1FO=

O1O

OF

=

3

3

=

3

．
∴∠O1FO=60°．
∴二面角O₁-BC-D的大小为60°．
故答案为60°．

点评：熟练掌握直棱柱的性质、三垂线定理、菱形的性质、含30°角的直角三角形的性质、二面角的定义是解题的关键．