题目内容

已知函数f（x）=alnx-2ax+3（a≠0）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）函数y=f（x）的图象在x=2处的切线的斜率为 $数学公式$ ，若函数g（x）= $数学公式$ ，在区间（1，3）上不是单调函数，求 m的取值范围．

解：（Ⅰ） $\text{[math]}$ （2分）
当a＞0时，f（x）的单调增区间为（0， $\text{[math]}$ ]，减区间为[ $\text{[math]}$ ，+∞）；
当a＜0时，f（x）的单调增区间为[ $\text{[math]}$ ，+∞），减区间为（0， $\text{[math]}$ ]；
（II） $\text{[math]}$
∴a=-1
∴f（x）=-lnx+2x+3
g（x）= $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ +（m+2）x²-x
g'（x）=x²+2（m+2）x-1
函数g（x）= $\text{[math]}$ ，在区间（1，3）上不是单调函数，
∴g'（x）=x²+2（m+2）x-1=0在（1，3）上有解
则 $\text{[math]}$ 解得- $\text{[math]}$ ＜m＜-2
∴m的取值范围为（- $\text{[math]}$ ，-2）．
分析：（I）利用导数求函数的单调区间的步骤是①求导函数f′（x）；②解f′（x）＞0（或＜0）；③得到函数的增区间（或减区间）；
（II）对函数进行求导，令导函数等于0在区间（1，3）上有解，然后建立关系式，解之即可．
点评：本题考查利用函数的导数来求函数的单调区间，在区间（a，b）上存在极值，则在区间（a，b）上不单调，属于中档题．