Question

已知
（1）若|-|²，求f（x）的表达式．
（2）若函数f（x）和函数g（x）的图象关于原点对称，求g（x）的解析式．
（3）若h（x）=g（x）-λf（x）+1在上是增函数，求实数λ的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据，可求得=（-2cosx，2sin-2cos），=4cos²x+4-4sinx，从而可求得f（x）的表达式；
（2）函数y=f（x）的图象上任一点M（x，y），它关于原点的对称点为N（x，y），x=-x，y=-y，利用点M在函数y=f（x）的图象上，将其坐标代入y=f（x）的表达式即可；
（3）可令t=sinx，将h（x）=g（x）-λf（x）+1在转化为：h（t）=-（1+λ）t²+2（1-λ）t+1（-1≤t≤1），对t²的系数-（1+λ）分类讨论，利用一次函数（λ=-1）与二次函数（λ≠-1）的性质讨论解决即可．
解答：解（1）：，
=2+sinx-cos²x-1+sinx=sin²x+2sinx
（2）：设函数y=f（x）的图象上任一点M（x，y）
关于原点的对称点为N（x，y）
则x=-x，y=-y，
∵点M在函数y=f（x）的图象上
∴-y=sin²（-x）+2sin（-x），即y=-sin²x+2sinx
∴函数g（x）的解析式为g（x）=-sin²x+2sinx
（3）∵h（x）=-（1+λ）sin²x+2（1-λ）sinx+1，
设sinx=t，
∵x∈
∴-1≤t≤1，
则有h（t）=-（1+λ）t²+2（1-λ）t+1（-1≤t≤1）．
①当λ=-1时，h（t）=4t+1在[-1，1]上是增函数，∴λ=-1，
②当λ≠-1时，对称轴方程为直线
ⅰ） λ＜-1时，，解得λ＜-1
ⅱ）当λ＞-1时，，解得-1＜λ≤0综上，λ≤0．
点评：本题考查三角函数的化简求值，二次函数的性质，难点在于通过三角换元得到“h（t）=-（1+λ）t²+2（1-λ）t+1（-1≤t≤1）”后，对t²的系数-（1+λ）分类讨论，也是易错点，属于难题．