Question

（2013•朝阳区二模）已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的右焦点为F（1，0），短轴的端点分别为B₁，B₂，且

FB1

•

FB2

=-a．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点F且斜率为k（k≠0）的直线l交椭圆于M，N两点，弦MN的垂直平分线与x轴相交于点D．设弦MN的中点为P，试求

|DP|

|MN|

的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用数量积即可得到1-b²=-a，又a²-b²=1，即可解得a、b；
（Ⅱ）把直线l的方程与椭圆的方程联立，利用根与系数的关系即可得到线段MN的中点P的坐标，利用弦长公式即可得到|MN|，利用点斜式即可得到线段MN的垂直平分线DP的方程，利用两点间的距离公式或点到直线的距离公式即可得到|DP|，进而得出

|DP|

|MN|

的关于斜率k的表达式，即可得到其取值范围．

解答：解：（Ⅰ）由题意不妨设B₁（0，-b），B₂（0，b），则

FB1

=(-1，-b)，

FB2

=(-1，b)．
∵

FB1

•

FB2

=-a，∴1-b²=-a，又∵a²-b²=1，解得a=2，b=

3

．
∴椭圆C的方程为

x2

4

+

y2

3

=1；
（Ⅱ）由题意得直线l的方程为y=k（x-1）．
联立

y=k(x-1) x2 4 + y2 3 =1

得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0．
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则x1+x2=

8k2

3+4k2

，x1x2=

4k2-12

3+4k2

．
∴弦MN的中点P(

4k2

3+4k2

，

-3k

3+4k2

)．
∴|MN|=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

=

(1+k2)[ 64k2 (3+4k2)2 - 4(4k2-12) 3+4k2 ]

=

12(k2+1)

4k2+3

．
直线PD的方程为y+

3k

4k2+3

=-

1

k

(x-

4k2

4k2+3

)．
∴|DP|=

3 k2(k2+1)

4k2+3

．
∴

|DP|

|MN|

=

3 k2(k2+1) 4k2+3

12(k2+1) 4k2+3

=

1

4

k2 k2+1

=

1

4

1- 1 k2+1

．
又∵k²+1＞1，∴0＜

1

k2+1

＜1，
∴0＜

1

4

1- 1 k2+1

＜

1

4

．
∴

|DP|

|MN|

的取值范围是(0，

1

4

)．

点评：熟练掌握直线与椭圆的相交问题转化为一元二次方程根与系数的关系、线段MN的中点坐标公式、弦长公式、点斜式、线段的垂直平分线的方程、两点间的距离公式或点到直线的距离公式、不等式的性质是解题的关键..