Question

17．已知数列{a_n}，观察程序框图，若k=5时，分别有S=25．
（1）试求数列{a_n}的通项；
（2）令b_n=2${\;}^{{a}_{n}}$，求{b_n}的前n项和T_n的值．

Answer 1

分析 （1）由框图可知{a_n}为等差数列，且公差为2，由题意得当k=5时，有5a₁+25-5=25，由此求出首项，由此能求出数列{a_n}的通项．
（2）由已知各b_n=2^an=2^2n-1，由此能{b_n}的前n项和T_n的值．

解答 解：（1）由框图可知{a_n}为等差数列，且公差为2，S_n为{a_n}前n项和，
S_n=na₁+$\frac{n（n-1）d}{2}$=na₁+n²-n
由题意得当k=5时，有S=25，
所以5a₁+25-5=25，
解得a₁=1，
所以a_n=a₁+（n-1）d=2n-1．
（2）由（1）可得：b_n=2^an=2^2n-1
∴b₁+b₂+…+b_m
=2¹+2³+…+2^2m-1
=$\frac{2（1-{4}^{m}）}{1-4}$=$\frac{2}{3}$（4^m-1）．

点评 本题考查数列的通项公式和前n项和的求法，是中档题，解题时要注意等差数列、等比数列的性质和程序框图的性质的合理运用．