题目内容

已知函数f（x）（x∈R）导函数f′（x）满足f'（x）＜f（x），则当a＞0时，f（a）与e^af（0）之间的大小关系为

A.
f（a）＜e^af（0）
B.
f（a）＞e^af（0）
C.
f（a）=e^af（0）
D.
不能确定，与f（x）或a有关

A
分析：设函数f（x）= $\text{[math]}$ ，则导函数f′（x）= $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ ，显然满足f'（x）＜f（x），
由f（a）= $\text{[math]}$ ，e^af（0）=e^a，比较得出结论．
解答：由题意知，可设函数f（x）= $\text{[math]}$ ，则导函数f′（x）= $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ ，显然满足f'（x）＜f（x），
f（a）= $\text{[math]}$ ，e^af（0）=e^a，当a＞0时，显然 $\text{[math]}$ ＜e^a，即f（a）＜e^af（0），
故选 A．
点评：本题考查求复合函数的导数的方法，以及指数函数的单调性．

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已知函数f（x）的定义域为R，且对于一切实数x满足f（x+2）=f（2-x），f（x+7）=f（7-x）
（1）若f（5）=9，求：f（-5）；
（2）已知x∈[2，7]时，f（x）=（x-2）²，求当x∈[16，20]时，函数g（x）=2x-f（x）的表达式，并求出g（x）的最大值和最小值；
（3）若f（x）=0的一根是0，记f（x）=0在区间[-1000，1000]上的根数为N，求N的最小值．

（2011•上海模拟）已知函数f(x)=(

-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）当a=1，b=2时，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2^m-1对任意0＜a＜b恒成立，求实数m的取值范围；
（3）设k、c＞0，当a=k²，b=（k+c）²时，记f（x）=f₁（x）；当a=（k+c）²，b=（k+2c）²时，记f（x）=f₂（x）．
求证：f1(x)+f2(x)＞

已知函数f（x）=log₂（x+1），当点（x，y）是函数y=f （x）图象上的点时，点

是函数y=g（x）图象上的点．
（1）写出函数y=g （x）的表达式；
（2）当g（x）-f （x）≥0时，求x的取值范围；
（3）当x在（2）所给范围内取值时，求g（x）-f（x）的最大值．

（1）已知函数f（x）=a^x-x（a＞1）．
①若f（3）＜0，试求a的取值范围；
②写出一组数a，x（x≠3，保留4位有效数字），使得f（x）＜0成立；
（2）在曲线

上存在两个不同点关于直线y=x对称，求出其坐标；若曲线

（p≠0）上存在两个不同点关于直线y=x对称，求实数p的范围；
（3）当0＜a＜1时，就函数y=a^x与y=log_ax的图象的交点情况提出你的问题，并取

加以研究．当0＜a＜1时，就函数y=a^x与y=log_ax的图象的交点情况提出你的问题，并加以解决．（说明：①函数f（x）=xlnx有如下性质：在区间

上单调递减，在区间

上单调递增．解题过程中可以利用；②将根据提出和解决问题的不同层次区别给分．）

已知函数f（x）的定义域为R，且对于一切实数x满足f（x+2）=f（2-x），f（x+7）=f（7-x）
（1）若f（5）=9，求：f（-5）；
（2）已知x∈[2，7]时，f（x）=（x-2）²，求当x∈[16，20]时，函数g（x）=2x-f（x）的表达式，并求出g（x）的最大值和最小值；
（3）若f（x）=0的一根是0，记f（x）=0在区间[-1000，1000]上的根数为N，求N的最小值．