Question

已知A，B，C是椭圆m：+=1（a＞b＞0）上的三点，其中点A的坐标为（2，0），BC过椭圆m的中心，且，且||=2||．
（1）求椭圆m的方程；
（2）过点M（0，t）的直线l（斜率存在时）与椭圆m交于两点P，Q，设D为椭圆m与y轴负半轴的交点，且||=||．求实数t的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）如图，点A是椭圆m的右顶点，∴a=2；由•=0，得AC⊥BC；由=2和椭圆的对称性，得=；这样，可以得出点C的坐标，把C点的坐标代入椭圆标准方程，可求得．
（2）如图，过点M的直线l，与椭圆m交于两点P，Q；当斜率k=0时，点M在椭圆内，则-2＜t＜2；当k≠0时，设过M点的直线l：y=kx+t与椭圆方程组成方程组，消去y，可得关于x的一元二次方程，由判别式△＞0，得不等式①，由x₁+x₂的值可得PQ的中点H坐标，由=，得DH⊥PQ，所以斜率，这样得等式②；
由①②可得t的范围．
解答：解（1）如图所示，
∵=2，且BC过点O（0，0），则；
又 •=0，∴∠OCA=90°，且A（2，0），则点C，
由a=，可设椭圆的方程m：；
将C点坐标代入方程m，得，解得c²=8，b²=4；
∴椭圆m的方程为：；
（2）如图所示，
由题意，知D（0，-2），∵M（0，t），
∴1°当k=0时，显然-2＜t＜2，
   2°当k≠0时，设l：y=kx+t，则
，消去y，得（1+3k²）x²+6ktx+3t²-12=0；
由△＞0，可得t²＜4+12k² ①
设点P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），且PQ的中点为H（x，y）；
则x==-，y=kx+t=，∴H；
由，∴DH⊥PQ，则k_DH=-，∴=-；
∴t=1+3k² ②
∴t＞1，将①代入②，得1＜t＜4，∴t的范围是（1，4）；
综上，得t∈（-2，4）．
点评：本题考查了直线与椭圆知识的综合应用，以及向量在解析几何中的应用；用数形结合的方法比较容易理清思路，解得结果．