Question

（本小题满分14分） 

设（且），g(x)是f(x)的反函数.

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）当时，恒有成立，求t的取值范围；

（Ⅲ）当0＜a≤时，试比较f(1)+f(2)+…+f(n)与的大小，并说明理由.

Answer 1

解：(1)由题意得：ax＝＞0

故g(x)＝，x∈(－∞,－1)∪(1,＋∞)……………………3分

(2) 由得 

①当a＞1时，＞0

又因为x∈[2,6],所以0＜t＜(x－1)2(7－x)

令h(x)＝(x－1)2(7－x)＝－x3＋9x2－15x＋7, x∈[2,6]

则h'(x)＝－3x2＋18x－15＝－3(x－1)(x－5)

列表如下：

x	2	(2,5)	5	(5,6)	6
h'(x)		＋	0	－
h(x)	5	↗	极大值32	↘	25

所以h(x)最小值＝5，

所以0＜t＜5

②当0＜a＜1时，0＜

又因为x∈[2,6],所以t＞(x－1)2(7－x)＞0

令h(x)＝(x－1)2(7－x)＝－x3＋9x2－15x＋7, x∈[2,6]

由①知h(x)最大值＝32, x∈[2,6]

所以t＞32

综上，当a＞1时，0＜t＜5；当0＜a＜1时，t＞32.……………………9分

(3)设a＝，则p≥1

当n＝1时,f(1)＝1＋≤3＜5 

当n≥2时

设k≥2，k∈N *时

则f(k)＝

所以f(k)≤1＋＝1＋＝1＋

从而f(2)＋f(3)＋……＋f(n)≤n－1＋＜n＋1

所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋……＋f(n)＜f(1)＋n＋1≤n＋4

综上，总有f(1)＋f(2)＋f(3)＋……＋f(n)＜n＋4……………………14分