Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD//BC，∠ADC=90°，平面⊥底面ABCD，Q为AD的中点，M是PC的中点，=PD，BC=AD．

（1）求证：平面BMQ；

（2）求证：平面PQB⊥平面PAD．

Answer 1

证明：（1）连接AC，交BQ于N，连接MN．

∵BC∥AD且BC=AD，即BCAQ．

∴四边形BCQA为平行四边形，且N为AC中点，

又∵点M在是棱PC的中点，

∴ MN // PA         

∵MN平面MQB，PA平面MQB，

∴ PA // 平面MBQ．   

（2）∵AD // BC，BC=AD，Q为AD的中点，

∴四边形BCDQ为平行四边形，

∴CD // BQ ．        

∵∠ADC=90°    ∴∠AQB=90°  即QB⊥AD．

又∵平面PAD⊥平面ABCD

且平面PAD∩平面ABCD=AD，

∴BQ⊥平面PAD．            

∵BQ平面PQB，

∴平面PQB⊥平面PAD．     

另证：AD // BC，BC=AD，Q为AD的中点

∴ BC // DQ 且BC= DQ， 

∴ 四边形BCDQ为平行四边形，∴CD // BQ ．

∵ ∠ADC=90°    ∴∠AQB=90°  即QB⊥AD.

∵ PA=PD，  ∴PQ⊥AD．               

∵ PQ∩BQ=Q，∴AD⊥平面PBQ．     

∵ AD平面PAD，

∴平面PQB⊥平面PAD．