Question

设直线l:x+2y+1=0交椭圆C:4(x-1)²+9(y+2)²=36于A、B两点，在椭圆上求一点P，使△ABP的面积最大.

Answer 1

思路分析：因为A、B为两定点,AB为定长,所以可将问题转化为在椭圆上求一点到直线的距离最大的问题.

解：

设椭圆C上的点P(1+3cosθ,-2+2sinθ),由于定直线l和定椭圆C截得的弦长为定长,又设P到直线l的距离为d,

则d=|5sin(θ+α)-2|,其中tanα=.

故当sin(θ+α)=-1,即θ=2kπ+-α,k∈Z时,d有最大值,这时△ABP的面积最大.

∵sinθ=sin(2kπ+-α)=-cosα=,cosθ=-sinα=,∴P(,)为所求.