Question

定义在R上的函数f（x）满足f（-x）=f（x），f（x）=f（4-x），且x∈（-1，3]时，f（x）=

cos π 2 x，  x∈(-1，1] 1-|x-2|，  x∈(1，3]

，则函数g（x）=4f（x）-x的零点个数为（　　）

• A、5
• B、4
• C、3
• D、6

Answer 1

分析：由条件函数f（x）满足f（-x）=f（x），f（x）=f（4-x）推出函数的最小正周期是4，画出y=f（x）的图象，令g（x）=0，则f（x）=

x

4

，函数g（x）的零点个数即为y=f（x）的图象与y=

x

4

的图象交点个数，通过图象的观察与分析即可得到结论．

解答：解：函数f（x）满足f（-x）=f（x），f（x）=f（4-x），
则有f（-x）=f（4-x），即f（x+4）=f（x），
∴f（x）是最小正周期为4的函数，
令g（x）=0，则f（x）=

x

4

，
先作出y=f（x）在（-1，3]上的图象，即一个周期的图象，
然后将它向左、向右平移4k（k是正整数）个单位，并作出直线y=

x

4

，
观察在y轴的右边，当x=4时，y=1，得到1个交点，
当x＞4时，直线在上方，无交点；当0＜x＜4时，显然有3个交点；
当-2＜x＜0时，有1个交点；当x＜-2时，y=f（x）的图象恒在上方，无交点．
故y=f（x）的图象与直线y=

x

4

的交点有5个，
即函数g（x）的零点个数为5．
故选A．

点评：本题主要考查函数的周期性及应用，函数的零点及判断零点个数的方法，通过两图象找交点个数，正确画好图象，并通过图象分析，是解题的关键．