Question

在三棱台ABC－中，侧棱⊥底面ABC，∠ABC＝∠＝．

　　

(Ⅰ)求证：

(Ⅱ)若＝1，AB＝2，求二面角B－－C的正切值；

(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下，求点到平面的距离．

Answer 1

答案：
解析：

(Ⅰ)证明： 　　∵⊥平面ABC， 　　∴⊥BC． 　　又∠ABC＝， 　　∴BC⊥AB． 　　由于∩AB＝B， 　　∴BC⊥平面， 　　∴在平面上的射影， 　　∵， 　　 (Ⅱ)解：设＝α，由(Ⅰ)知α为B－－C的平面角． 　　取AB的中点D，连，则为的BA边上的中线． 　　由于BD＝，又BD∥⊥BD． 　　∴四边形是矩形． 　　∴⊥BA，又， 　　∴是等腰直角三角形． 　　从而是正方形． 　　∴． 　　∵，∴CB＝BA＝2． 　　∵BC⊥面， 　　∴BC⊥． 　　∴在中，得tanα＝，∴α＝arctan． 　　∵⊥面ABC，， 　　∴⊥面ABC． 　　由D作DE⊥CA交CA于E，连，则⊥CA． 　　∴为二面角－CA－B的平面角． 　　设＝β． 　　由， 　　∴在中，， 　　∴α＝β，即二面角B－－C与二面角－CA－B的大小相等， (Ⅲ)解： 　　∵∥BC，∴ 　　∴点的距离． 　　连于O， 　　∵四边形． 　　由(Ⅰ)知BC⊥平面， 　　∴⊥BC 　　∴． 　　∴的距离． 　　∵， 　　∴点到平面的距离为，即点的距离为．