Question

如图，四棱锥S-ABCD的底面是直角梯形，∠ABC=∠BCD=90°，AB=BC=SB=SC=2CD=2，侧面SBC⊥底面ABCD．
（1）由SA的中点E作底面的垂线EH，试确定垂足H的位置；
（2）求二面角E-BC-A的大小．

Answer 1

分析：（1）过S作SO垂直BC于点O，由已知面面垂直得出SO⊥底面ABCD，连接AO，则SA在底面上的投影即线AO，故中点E在底面上的垂足H线段AO的中点．
（2）过H作HF垂直于BC于F，连接EF，可证得∠EFH即二面角E-BC-A的平面角．在直角三角形中求出∠EFH的三角函数值，进而根据函数值求出角．

解答：解：（1）作SO⊥BC于O，则SO?平面SBC，
又面SBC⊥底面ABCD，
面SBC∩面ABCD=BC，
∴SO⊥底面ABCD①
又SO?平面SAO，∴面SAO⊥底面ABCD，
作EH⊥AO，∴EH⊥底面ABCD②
即H为垂足，由①②知，EH∥SO，
又E为SA的中点，∴H是AO的中点．

（2）过H作HF⊥BC于F，连接EF，
由（1）知EH⊥平面ABCD，∴EH⊥BC，
又EH∩HF=H，∴BC⊥平面EFH，∴BC⊥EF，
∴∠HFE为面EBC和底面ABCD所成二面角的平面角．
在等边三角形SBC中，∵SO⊥BC，
∴O为BC中点，又BC=2．
∴SO=

22-12

=

3

，EH=

1

2

SO=

3

2

，
又HF=

1

2

AB=1，
∴在Rt△EHF中，tan∠HFE=

EH

HF

=

3 2

1

=

3

2

，
∴∠HFE=arctan

3

2

．
即二面角E-BC-A的大小为arctan

3

2

．

点评：本题考查平面与平面垂直的性质与二面角的求法，主要是训练答题者对基本定义与定理掌握的准确性与熟练程度，本题有一点不足之处即所求出的角不是一个特殊角，致使最后的结果需用反三角函数来表示，现在的多个版本的课本上都已不把反三角函数作为必学内容．