Question

已知函数f(x)=2sin(2x-

π

3

)-1．试求：
（Ⅰ）函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅲ）函数f（x）在区间[

π

6

，

5π

6

]上的值域．

Answer 1

分析：（1）根据三角函数的周期公式，利用题中数据即可求出f（x）的最小正周期；
（2）由正弦函数的图象与性质，解关于x的不等式-

π

2

+2kπ≤2x-

π

3

≤

π

2

+2kπ（k∈Z），得到x的范围即为f（x）的单调递增区间；
（3）当

π

6

≤x≤

5π

6

时0≤2x-

π

3

≤

4π

3

，结合正弦函数的图象可得-

3

2

≤sin（2x-

π

3

）≤1，由此即可算出f（x）在区间[

π

6

，

5π

6

]上的值域．

解答：解：（1）∵函数f(x)=2sin(2x-

π

3

)-1中，ω=2
∴f（x）的最小正周期T=

2π

ω

=π；
（2）设-

π

2

+2kπ≤2x-

π

3

≤

π

2

+2kπ（k∈Z），解之得-

π

12

+kπ≤x≤

5π

12

+kπ（k∈Z）
∴f（x）的单调递增区间是[-

π

12

+kπ，

5π

12

+kπ](k∈Z)；
（3）当

π

6

≤x≤

5π

6

时，得0≤2x-

π

3

≤

4π

3

，
∴-

3

2

≤sin（2x-

π

3

）≤1，可得函数f（x）的最小值为f（

5π

6

）=-

3

-1，
f（x）的最大值为f（

5π

12

）=1
∴函数f（x）在区间[

π

6

，

5π

6

]上的值域为[-

3

-1，1]．

点评：本题给出三角函数表达式，求函数的周期、单调性与闭区间上的值域．着重考查了三角函数的图象与性质和函数的值域求法等知识，属于中档题．