Question

以下四个命题：
①在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA=acosB，则B=

π

4

；
②设

a

，

b

是两个非零向量且|

a

•

b

|=|

a

||

b

|，则存在实数λ，使得

b

=λ

a

；
③方程sinx-x=0在实数范围内的解有且仅有一个；
④a，b∈R且a³-3b＞b³-3a，则a＞b；
其中正确的是

①②③④

．

Answer 1

分析：分别根据条件判别各命题的真假即可．①利用正弦定理化简求角．②由|

a

•

b

|=|

a

||

b

|得出向量的夹角，根据夹角判断是否共线．③构造函数y=sinx-x，利用导数判断函数是单调的即可．④利用作差法进行判断．

解答：解：①在三角形中，根据正弦定理可知bsinA=acosB等价为sinAsinB=sinAcosB，所以sinB=cosB，即B=

π

4

，所以正确．
②由|

a

•

b

|=|

a

||

b

|，得|cos＜

a

，

b

＞|=1，所以

a

，

b

的夹角为0或π，所以

a

，

b

共线，所以存在实数λ，使得

b

=λ

a

，所以正确．
③设y=sinx-x，则y'=cosx-1≤0，所以函数y=sinx-x在定义域上单调递减．因为f（0）=0，所以方程sinx-x=0在实数范围内的解有且仅有一个，所以正确．
④因为a³-b³+3a-3b=(a-b)(a2+ab+b2+3)=(a-b)[(a+

1

2

b)2+

3

4

b2+3]，所以若a³-3b＞b³-3a，则必有a＞b成立，所以正确．
故答案为：①②③④．

点评：本题主要考查各种命题的真假判断，涉及的知识点较多，综合性较强．