Question

已知函数f（x）=|x-4|+|x+2|（x∈R且x≠0）的最小值为k则（2x-

1

2x

）^k的展开式的常数项是

 

 （用数字作答）

Answer 1

分析：由绝对值不等式可得f（x）的最小值，可得m的值；将m代入 （2x-

1

2x

）^k中，进而可得其二项展开式为=（-1）^r•2^6-2rC₆^6-r•x^6-2r，令 6-2r=0，可得r；代入二项展开式，可得答案．

解答：解：由绝对值不等式可得f（x）=|x-4|+|x+2|≥|2-（-4）|=6，
则其最小值为6，故k=6；
则（2x-

1

2x

）⁶的展开式为T_r+1=C₆^6-r•（ 2x）^6-r•（-

1

2x

）^r=（-1）^r•2^6-2rC₆^6-r•x^6-2r，
令 6-2r=0，可得r=3；
则其常数项为（-1）³•C₆³=-20，
故答案为：-20．

点评：本题考查二项式定理的应用，涉及绝对值的意义与化简，有一定的难度．