Question

过抛物线y²=4x的焦点F作弦AB，若，则弦AB所在直线的方程是    _．

Answer 1

【答案】分析：设出直线方程，把直线方程和抛物线方程联立后得到关于x的一元二次方程，利用根与系数关系得到两个交点的横坐标的和与积，由 ，代入坐标整理后得到直线的斜率与截距间的关系，由两个向量的模相等，结合抛物线定义可求出两个交点横坐标的具体值，代入两根和的关系式得到直线的斜率与截距的另一关系式，解方程组可求解k的值．
解答：解：设直线l的方程为y=kx+m（k≠0），与抛物线y²=4x相交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
联立 ，得k²x²+（2km-4）x+m²=0．
所以△=（2km-4）²-4k²m²=16-16km＞0，即km＜1．
x₁+x₂=，x₁x₂=．
由y²=4x得其焦点F（1，0）．
由 ，得（1-x₁，-y₁）=2（x₂-1，y₂）．
所以 ，
由①得，x₁+2x₂=3 ③
由②得，x₁+2x₂=-．
所以m=-k．
再由 ，得||=2||，
所以x₁+1=2（x₂+1），即x₁-2x₂=1④
联立③④得x₁=2，x₂=．
所以x₁+x₂==．
把m=-k代入得 =，解得|k|=2 ，满足mk=-8＜1．
所以k=±2．
则弦AB所在直线的方程是 ．
故答案为：．
点评：本题考查了抛物线的简单几何性质，考查了直线与圆锥曲线的关系，解答的关键是利用向量关系得到两个交点A，B的坐标的关系，同时灵活运用了抛物线的定义，属中高档题．