Question

若函数f(x)=(a-

1

ex-1

)sinx是偶函数，则常数a等于

-

1

2

．

Answer 1

分析：根据函数奇偶性的乘法法则，可以得出g(x)=a-

1

ex-1

的奇偶性．因为函数y=sinx是奇函数，f（x）=g（x）sinx是偶函数，故g（x）=a-

1

e x-1

也是奇函数，再用用特殊值求解，g（-1）=-g（1）即可求出常数a的值．

解答：解：根据题意，设f（x）=g（x）sinx，其中g(x)=a-

1

ex-1

∵f（-x）=g（-x）sin（-x）=-g（-x）sinx=f（x）
∴g（-x）=-g（x），g（x）是一个奇函数，
再在上式中取x=1，得a-

1

e -1

+a-

1

e-1-1

=0
解之得a等于 -

1

2

．
故答案是-

1

2

．

点评：本题考查了函数的奇偶性的性质和应用，属于基础题．因为是填空题，所以不必用比较系数的繁琐方法，而是取了一个特殊值，问题迎刃而解．