Question

设椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1的右、右焦点分别为F₁、F₂，上顶点为A，过A与AF₂垂直的直线交x轴负半轴于Q点，且2

F1F2

+

F2Q

=0．
（1）求椭圆C的离心率；
（2）若过A、Q、F₂三点的圆恰好与直线x-

3

y-3=0相切，求椭圆C的方程；
（3）在（2）的条件下，过右焦点F₂的直线交椭圆于M、N两点，点P（4，0），求△PMN面积的最大值．

Answer 1

分析：（1）欲求椭圆C的离心率，只需得到关于a，c的齐次式，由

F2A

⊥

A Q

，2

F1F2

+

F2Q

=0，以及b²=a²-c²，就可得到a，c的齐次式，求出椭圆C的离心率．
（2）带着参数求出过A、Q、F₂三点的圆的圆心坐标以及半径，再根据圆恰好与直线x-

3

y-3=0相切，求出参数的值，
就可得到椭圆C的方程．
（3）设直线MN的方程，欲（2）中求出的椭圆方程联立，求出y₁+y₂，y₁y₂的值，就可得到|y₁-y₂|，而△PMN的面积可用=

1

2

|PF₂|•|y₁-y₂|表示，再利用均值不等式求出最大值．

解答：解：（1）设Q（x₀，0）．∵F₂（c，0），A（0，b），∴

F2A

=（-c，b），

A Q

=（x₀，-b）
∵

F2A

⊥

A Q

，∴-cx₀-b²=0，故 x₀=-

b2

c

，
又∵2

F1F2

+

F2Q

=0，∴F₁为F₂Q的中点，故-2c=-

b2

c

+c，即，b²=3c²=a²-c²，∴e=

c

a

=

1

2

（2）∵e=

c

a

=

1

2

，∴a=2c，b=

3

c，则F2（c，0），Q（-3c，0），A（0，

3

c）
∴△AQF2的外接圆圆心（-c，0），半径r=

1

2

|F₂Q|=a=2c
∴

|-c-3|

2

=2c，解得c=1，∴a=2，b=

3

椭圆C的方程为

x2

4

+

y2

3

=1
（3）设直线MN：x=my+1，代入

x2

4

+

y2

3

=1，得，（3m²+4）y²+6my-9=0
设M（x₁，y₁），n（x₂，y₂），∴y₁+y₂=-

6m

3m2+4

，y₁y₂=-

9

3m2+4

，
|y₁-y₂|=

(y1+y2)2-4y1y2

=

4 3 3m2+3

3m2+4

∴S_△PMN=

1

2

|PF₂|•|y₁-y₂|=

6 3 3m2+3

3m2+4

，
令

3m2+3

=λ≥

3

，
∴S_△PMN=

6 3 λ

λ2+1

=

6 3

λ+ 1 λ

≤

6 3

3 λ+ 1 3 λ

=

9

2

∴△PMN面积的最大值为

9

2

，此时，m=0

点评：本题考查了椭圆离心率，方程的求法，以及直线与椭圆位置关系的判断，注意设而不求思想的应用．