Question

已知f（x）＝x³＋ax²＋bx＋c有极大值f（a）和极小值f（b）。

（1）求f（a）＋f（b）；

（2）设曲线y＝f（x）的极值点为A、B，求证：A、B连线的中点M在y＝f（x）上。

 

Answer 1

答案：
解析：

解：∵ f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c，∴ f′（x）＝3x3＋2ax＋b， 令f′（x）＝0，得3x3＋2ax＋b＝0。 ∵ a、b是方程3x3＋2ax＋b＝0的两个根，∴ a＋b＝－，a、b＝。 （1）f（a）＋f（b）＝a3＋aa2＋ba＋c＋b3＋a b2＋bb＋c ＝（a3＋b3）＋a（a2＋b3）＋b（a＋b）＋2c ＝（a＋b）［（a＋b）2－3a b］＋a［（a＋b）2-2 a b ］＋b（a＋b）＋2c ＝－·［（－）2－3·］＋a［（－）2－2·］＋b（－）＋2c ＝－＋＋－－＋2c ＝－＋2c。 （2）证明：由（1）已知，A、B的中点M为（，［f（a）＋f（b）］）， ∴ M（－，－＋c）。 又f（）＝f（－） ＝（－）3＋a（－）2＋b（－）＋c ＝－＋－＋c ＝－＋c ＝［f（a）＋f（b）］， ∴ A、B连线的中点M在y＝f（x）上。