Question

已知椭圆的右焦点为F，上顶点为A，P为C上任一点，MN是圆的一条直径，若与AF平行且在y轴上的截距为的直线恰好与圆相切．
(Ⅰ)已知椭圆的离心率；
(Ⅱ)若的最大值为49，求椭圆C的方程．

Answer 1

（Ⅰ） （Ⅱ）．

(I)先求出直线l的方程为,然后根据因为直线与圆相切,得到,从而可得到a,c的关系，进而求出e.
(II) 在（I）的基础上，可把椭圆方程转化为,这样根据条件建立关于c的方程即可求出椭圆方程，因而设、圆的圆心记为，则,根据其最大值为49,可求出c的值.
（Ⅰ）由题意可知直线l的方程为，
因为直线与圆相切，所以，即
从而                                 …………………5分
（Ⅱ）设、圆的圆心记为，则
（﹥0），又=
 ． …………………8分
j当
；
k当
故舍去．
综上所述，椭圆的方程为．                …………………12分