Question

已知函数f（x）=（x²-a）e^x．
（I）若a=3，求f（x）的单调区间；
（II）已知x₁，x₂是f（x）的两个不同的极值点，且|x₁+x₂|≥|x₁x₂|，若3f(a)＜a3+

3

2

a2-3a+b恒成立，求实数b的取值范围．

Answer 1

分析：（I）由题意把a=3代入解析式，然后对函数求导，令导数大于0 解出函数的单调递增区间，在令导数小于0解出的为函数的单调区间；
（II）由题意求出函数的导函数令导函数为0，再有3f(a)＜a3+

3

2

a2-3a+b，得到关于a的函数式子g（a），判断该函数的极值与最值即可．

解答：解：（1）∵a=3，∴f（x）=（x²-3）e^x，f'（x）=（x²+2x-3）e^x=0⇒x=-3或1
令f'（x）＞0，解得x∈（-∞，-3）∪（1，+∞）令f'（x）＜0，解得x∈（-3，1），∴f（x）的增区间为（-∞，-3），（1，+∞）；减区间为（-3，1），
（2）f'（x）=（x²+2x-a）e^x=0，即x²+2x-a=0
由题意两根为x₁，x₂，∴x₁+x₂=-2，x₁•x₂=-a，又∵|x₁+x₂|≥|x₁x₂|∴-2≤a≤2
且△=4+4a＞0，∴-1＜a≤2
设g(a)=3f(a)-a3-

3

2

a2+3a=3(a2-a)ea-a3-

3

2

a2+3ag′(a)=3(a2+a-1)(ea-1)=0⇒a=

-1± 5

2

或a=0

a	（-1，0）	0	(0， 5 -1 2 )	5 -1 2	( 5 -1 2 ，2)	2
g'（a）	+	0	-	0	+
g（a）	↗	极大值	↘	极小值	↗	g（2）

又g（0）=0，g（2）=6e²-8，
∴g（a）_max=6e²-8，
∴b＞6e²-8

点评：此题考查了利用导函数求出函数的单调区间，还考查了利用导函数求出函数的最值及学生的计算能力．转化思想．