Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n=2-a_n，
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{S_n}的前项和．

Answer 1

分析：（1）由数列{a_n}的前n项和S_n=2-a_n，知当n=1时，a₁=S₁=2-a₁，解得a₁=1．当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（2-a_n）-（2-a_n-1）=a_n-1-a_n，由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（2）S_n=2-a_n=2-(

1

2

)n-1，记{S_n}的前项和Tn=2-(

1

2

)0+2-(

1

2

)1+…+2-(

1

2

)n-1，由此能求出其结果．

解答：解：（1）∵数列{a_n}的前n项和S_n=2-a_n，
∴当n=1时，a₁=S₁=2-a₁，
解得a₁=1．
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（2-a_n）-（2-a_n-1）=a_n-1-a_n，
∴2a_n=a_n-1，a₁=1，
∴数列{a_n}是等比数列，其首项为1，公比为

1

2

，
∴an=(

1

2

)n-1．
（2）S_n=2-a_n=2-(

1

2

)n-1，
记{S_n}的前项和为T_n，
则Tn=2-(

1

2

)0+2-(

1

2

)1+…+2-(

1

2

)n-1
=2n-

1-( 1 2 )n

1- 1 2

=2n-2+

1

2 n-1

．

点评：本题考查数列通项公式的求法和数列前n项和的求法，考查化归与转化、分类与整合的数学思想，培养学生的抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识．