Question

在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，以O为圆心的圆与直线相切．
（Ⅰ）求圆O的方程；
（Ⅱ）直线l：y=kx+3与圆O交于A，B两点，在圆O上是否存在一点M，使得四边形OAMB为菱形，若存在，求出此时直线l的斜率；若不存在，说明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）设圆O的半径为r，圆心为（0，0），
∵直线x﹣y﹣4=0与圆O相切，
∴d=r==2，
则圆O的方程为x²+y²=4；
（Ⅱ）在圆O上存在一点M，使得四边形OAMB为菱形，理由为：
法1：∵直线l：y=kx+3与圆O相交于A，B两点，
∴圆心O到直线l的距离d=＜r=2，
解得：k＞或k＜﹣，
假设存在点M，使得四边形OAMB为菱形，
则OM与AB互相垂直且平分，
∴圆心O到直线l：y=kx+3的距离d=|OM|=1，
即d==1，整理得：k²=8，
解得：k=±2，经验证满足条件，
则存在点M，使得四边形OAMB为菱形；
法2：记OM与AB交于点C（x₀，y₀），
∵直线l斜率为k，显然k≠0，
∴OM直线方程为y=﹣x，
将直线l与直线OM联立得：，
解得：，
点M坐标为（，），
又点M在圆上，将M坐标代入圆方程得：（）2+（）2=4，
解得：k²=8，
解得：k=±2，经验证满足条件，
则存在点M，使得四边形OAMB为菱形