Question

【题目】如图，四棱锥的底面是平行四边形，是的中点，，.

（1）求证：平面；

（2）若，点在侧棱上，且，二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）

【解析】

（1）设是的中点，连结，可证，由，则，又由，即可得证；

（2）以为原点，方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出线面角的正弦值.

解：（1）证明：平行四边形中，设是的中点，连结，

因为是的中点，所以，

又由，得，

所以，平行四边形中，，则，

又由，且，平面，平面，

故平面

（2）由（1）知平面，

又平面，

于是平面平面，连结，

由，可得，

则，所以平面，

又，所以平面，

得，

故二面角的平面角为，

由此得，

以为原点，方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系，

则，

由，可知点，

则，

设平面的法向量为，

由，

取，

设直线与平面所成角为，

所以