Question

四棱锥P—ABCD中,侧面PDC是边长为2的正三角形,且与底面垂直,底面ABCD是面积为的菱形,∠ADC为菱形的锐角.

(1)求证:PA⊥CD;

(2)求二面角PABD的度数.

Answer 1

(1)证明:如图,由题意知AD·DC·sin∠ADC=,

即2²·sin∠ADC=.

∴sin∠ADC=,∠ADC=60°.

作AE⊥DC于E,连结PE,则DE=1.∴E为DC的中点.

∵PD=PC,∴PE⊥DC.

∵平面PDC⊥底面ABCD,∴PE⊥底面ABCD.

∵DC⊥AE,∴DC⊥PA.

(2)解:∵DC∥AB,AB⊥AE,∴∠PAE为二面角PABD的平面角.

在Rt△ADE中,AD=2,DE=1,

∴AE=.在正三角形PDC中,DC=2,

∴PE=.∴tan∠PAE==1.

∴∠PAE=45°,即二面角P-AB-D为45°.