Question

函数y=x²（x＞0）的图象在点（a_k，a_k²）处的切线与x轴交点的横坐标为a_k+1（ k为正整数），其中a₁=16．设正整数数列{b_n}满足：，当n≥2时，有．
（Ⅰ）求b₁，b₂，b₃，b₄的值；
（Ⅱ）求数列{b_n}的通项；
（Ⅲ）记，证明：对任意n∈N^*，．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）在点（a_k，a_k²）处的切线方程为：y-a_k²=2a_k（x-a_k），当y=0时，解得，所以，由a₁=16，知a₂=8，a₃=4，由此能推导出b₁，b₂，b₃，b₄的值．
（Ⅱ）猜想：b_n=2•3^n-1，再由数学归纳法进行证明．
（Ⅲ）由，得，所以，=，故．
解答：解：（Ⅰ）在点（a_k，a_k²）处的切线方程为：y-a_k²=2a_k（x-a_k），
当y=0时，解得，所以，
又∵a₁=16，∴a₂=8，a₃=4，
a₄=2
n=2时，，
由已知b₁=2，b₂=6，得|36-2a₃|＜1，
因为b₃为正整数，所以b₃=18，同理b₄=54..（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可猜想：b_n=2•3^n-1（5分）
证明：①n=1，2时，命题成立；
②假设当n=k-1与n=k（k≥2且k∈N）时成立，
即b_k=2•3^k-1，b_k-1=2•3^k-2．
于是，
整理得：
由归纳假设得：
因为b_k+1为正整数，所以b_k+1=2•3^k
即当n=k+1时命题仍成立．
综上：由知①②知对于?n∈N^*，有b_n=2•3^n-1成立（10分）
（Ⅲ）证明：由③
得④
③式减④式得⑤
⑥
⑤式减⑥式得
=-1+2
=1+2•
=
=
则．（16分）
点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的合理运用．