Question

平面直角坐标系中，O为坐标原点，给定两点A(1，0)、B(0，-2)，点C满足=α+β，其中α、β∈R，且α-2β=1.

(1)求点C的轨迹方程；

(2)设点C的轨迹与双曲线=1(a＞0,b＞0)交于两点M、N，且以MN为直径的圆过原点，若双曲线的离心率不大于，求双曲线实轴长的取值范围.

Answer 1

解:(1)设C(x，y)，因为=α+β，则(x,y)=α(1,0)+β(0,-2),

即由α-2β=1，得x+y=1，即点C的轨迹方程为x+y=1.

(2)由得(b²-a²)x²+2a²x-a²-a²b²=0.

依题意知b²-a²≠0，设M(x₁,1-x₁)、N(x₂?,1-x₂),

则x₁+x₂=,x₁x₂=.

因为以MN为直径的圆过原点，所以·=0,

即x₁x₂+(1-x₁)(1-x₂)=0，即2x₁x₂+1-(x₁+x₂)=0,

得1+=0，得b²=.

∵e≤，∴e²=≤3.

∴1+≤3.

又1-2a²≥0，∴1-2a²≥.

∴0＜a≤.从而0＜2a≤1.

∴双曲线实轴长的取值范围是(0，1］.