题目内容

F1、F2分别为椭圆
x2
6
+
y2
3
=1的左、右焦点，A为短轴一端点，弦AB过左焦点F1，则△ABF2的面积为（　　）
分析：设A（0，
3
），得直线AF1方程为y=x+
3
，与椭圆
x2
6
+
y2
3
=1消去x得3y2-2
3
y-3=0，从而得到yA=
3
，yB=-
3
3
．而△ABF2的面积S=
1
2
|F1F2|•|yA-yB|，因此算出椭圆的焦距，再代入前面算出的数据，即得所求△ABF2的面积．
解答：解：∵椭圆方程是
x2
6
+
y2
3
=1，∴椭圆的左焦点F1（-
3
，0），右焦点F2（
3
，0）
设A为上端点，得A（0，
3
），求得AF1的斜率k=1，得直线AF1的方程为y=x+
3

将直线AF1的方程与椭圆
x2
6
+
y2
3
=1消去x，得3y2-2
3
y-3=0
解之可得yA=
3
，yB=-
3
3

∵椭圆的焦距|F1F2|=2
3

∴△ABF2的面积S=
1
2
|F1F2|•|yA-yB|=
1
2
•2
3
•
4
3
3
=4
故选：D
点评：本题给出椭圆经过左焦点和短轴一端的内接三角形，求此三角形的面积，着重考查了椭圆的标准方程与简单几何性质、直线与椭圆位置关系等知识，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的离心率为
1
2
，F1、F2分别为椭圆C的左、右焦点，若椭圆C的焦距为2．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设M为椭圆上任意一点，以M为圆心，MF1为半径作圆M，当圆M与直线l：x=
a2
c
有公共点时，求△MF1F2面积的最大值．
精英家教网已知F1，F2分别为椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左，右焦点，过F1且垂直于x轴的直线交椭圆C于A，B两点，若△ABF2为钝角三角形，则椭圆C的离心率e的取值范围为（　　）
A、（0，
2
-1）
B、（0，
3
-1）
C、（
2
-1，1）
D、（
3
-1，1）
设F1，F2分别为椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左、右两个焦点，若椭圆C上的点A（1，
3
2
）到F1，F2两点的距离之和等于4．
（1）写出椭圆C的方程和焦点坐标；
（2）过点P（1，
1
4
）的直线与椭圆交于两点D、E，若DP=PE，求直线DE的方程；
（3）过点Q（1，0）的直线与椭圆交于两点M、N，若△OMN面积取得最大，求直线MN的方程．
（2012•鹰潭一模）已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)．F1，F2分别为椭圆C的左，右焦点，A1，A2分别为椭圆C的左，右顶点．过右焦点F2且垂直于x轴的直线与椭圆C在第一象限的交点为M(
3
，2)．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）直线l：x=my+1与椭圆C交于P，Q两点，直线A1P与A2Q交于点S．当直线l变化时，点S是否恒在一条定直线上？若是，求此定直线方程；若不是，请说明理由．
（2007•杨浦区二模）（文）设F1、F2分别为椭圆C：
x2
m2
+
y2
n2
=1（m＞0，n＞0且m≠n）的两个焦点．
（1）若椭圆C上的点A（1，
3
2
）到两个焦点的距离之和等于4，求椭圆C的方程．
（2）如果点P是（1）中所得椭圆上的任意一点，且
PF1
•
PF2
=0，求△PF1F2的面积．
（3）若椭圆C具有如下性质：设M、N是椭圆C上关于原点对称的两点，点Q是椭圆上任意一点，且直线QM与直线QN的斜率都存在，分别记为KQM、KQN，那么KQM和KQN之积是与点Q位置无关的定值．试问：双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）是否具有类似的性质？并证明你的结论．通过对上面问题进一步研究，请你概括具有上述性质的二次曲线更为一般的结论，并说明理由．

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