Question

设F₁，F₂分别为椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右两个焦点，若椭圆C上的点A（1，

3

2

）到F₁，F₂两点的距离之和等于4．
（1）写出椭圆C的方程和焦点坐标；
（2）过点P（1，

1

4

）的直线与椭圆交于两点D、E，若DP=PE，求直线DE的方程；
（3）过点Q（1，0）的直线与椭圆交于两点M、N，若△OMN面积取得最大，求直线MN的方程．

Answer 1

分析：（1）把已知点的坐标代入椭圆方程，再由椭圆的定义知2a=4，从而求出椭圆的方程，由椭圆的方程求出焦点坐标．
（2）设出DE方程，代入椭圆方程，利用中点坐标公式，求出斜率，即可求直线DE的方程；
（3）（3）直线MN不与y轴垂直，设MN方程为my=x-1，代入椭圆C的方程，求出△OMN面积，利用导数，确定单调性，可得面积最大值，从而可求直线MN的方程．

解答：解：（1）椭圆C的焦点在x轴上，
由椭圆上的点A到F₁、F₂两点的距离之和是4，得2a=4，即a=2，
又点A（1，

3

2

） 在椭圆上，因此

1

22

+

3 4

b2

=1，得b²=1，于是c²=3，
所以椭圆C的方程为

x2

4

+y2=1，F1(-

3

，0)，F2(

3

，0)，…（4分）
（2）显然直线DE斜率存在，设为k，方程为y-

1

4

=k(x-1)，设D（x₁′，y₁′），E（x₂′，y₂′），则
由

x2 4 +y2=1 y- 1 4 =k(x-1)

，消去y可得(1+4k2)x2+(2k-8k2)x+4k2-2k-

15

4

=0
∴

x1′+x2′

2

=

4k2-k

1+4k2

=1，∴k=-1
∴DE方程为y-1=-1（x-

1

4

），即4x+4y=5；…（9分）
（3）直线MN不与y轴垂直，设MN方程为my=x-1，代入椭圆C的方程得（m²+4）y²+2my-3=0，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则y₁+y₂=-

2m

m2+4

，y₁y₂=-

3

m2+4

，且△＞0成立．
又S_△OMN=

1

2

|y₁-y₂|=

1

2

×

4m2+12(m2+4)

m2+4

=

2 m2+3

m2+4

，
设t=

m2+3

≥

3

，则S_△OMN=

2

t+ 1 t

，
（t+

1

t

）′=1-t^-2＞0对t≥

3

恒成立，∴t=

3

时，t+

1

t

取得最小，S_△OMN最大，此时m=0，
∴MN方程为x=1；…（14分）

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查三角形面积的计算，正确运用韦达定理是关键．