Question

当0≤x≤1时，|ax-

1

2

x3|≤1恒成立，则a的取值范围是

 

．

Answer 1

分析：先去掉绝对值符号，转化为两个不等式，构成不等式组，由于要求参数a的取值范围，可以分离参数a，通过条件0≤x≤1，利用导数求最值的方法求得a的取值范围．

解答：解：由|ax-

1

2

x3|  ≤1得-1≤ax-

1

2

x3≤1，
∴

ax- 1 2 x3≥-1 ax- 1 2 x3≤ 1

即

ax≥ 1 2 x3- 1 ax≤ 1 2 x3+1

，
当x=0时，a∈R，当x≠0时，有

a≥ 1 2 x2 - 1 x a≤ 1 2 x2 + 1 x

令f(x)=

1

2

x2 -

1

x

，g(x)=

1

2

x2 +

1

x

，
f′(x)=x+

1

x2

，当0＜x≤1可得f′（x）＞0，
∴f（x）在（0，1】是增函数，所以f（x）的最大值为f（1）=

1

2

-1=-

1

2

，
同理可以求得g（x）在（0，1】是减函数，g（x）的最小值为g（1）=

1

2

+1=

3

2

；
∴

a≥- 1 2 a≤ 3 2

即-

1

2

≤a ≤

3

2

．
故答案为：【-

1

2

，

3

2

】．

点评：本题考查绝对值不等式的应用，解题的关键是去掉绝对值符号，转化为不等式组，用分离参数后用求导法求最值，即可求得答案．