Question

（本小题满分14分）

已知集合.对于A的一个子集S，若存在不大于的正整数m，使得对于S中的任意一对元素，都有，则称S具有性质P.

（Ⅰ）当时，试判断集合和是否具有性质P？并说明理由.

（Ⅱ）若时

若集合S具有性质P，那么集合是否一定具有性质P？并说明理由；

若集合S具有性质P，求集合S中元素个数的最大值．

Answer 1

（共14分）

解：（Ⅰ）当时，集合,

不具有性质．   ...................................1分

因为对任意不大于10的正整数m，

都可以找到该集合中两个元素与，使得成立．...............2分

集合具有性质．         ................................................3分

  因为可取，对于该集合中任意一对元素，

都有．              .....................................................................4分

（Ⅱ）当时，则

①若集合S具有性质，那么集合一定具有性质．...................5分

首先因为，任取 其中，

因为，所以，

从而，即所以.                  ...........................6分

 由S具有性质，可知存在不大于1000的正整数m，

使得对S中的任意一对元素，都有．

对于上述正整数m，

从集合中任取一对元素，其中，

则有,                           

所以集合具有性质．                    .............................8分

②设集合S有k个元素．由第①问知，若集合S具有性质，那么集合一定具有性质．

任给，，则与中必有一个不超过1000，

所以集合S与中必有一个集合中至少存在一半元素不超过1000，

不妨设S中有t个元素不超过1000．

由集合S具有性质，可知存在正整数，

使得对S中任意两个元素，都有，

所以一定有.

又，故,

即集合中至少有个元素不在子集中，   

因此，所以，得，

当时，

取，则易知对集合S中任意两个元素，

都有，即集合S具有性质，

而此时集合Ｓ中有1333个元素．

因此集合S元素个数的最大值是1333．                  .....................................14分