Question

已知函数f（x）=

1

1+x2

（1）判断f（x）的奇偶性；
（2）确定函数f（x）在（-∞，0）上是增函数还是减函数？证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）利用函数的奇偶性的定义进行判断．（2）利用函数的单调性的定义进行判断证明．

解答：解：（1）因为函数为f（x）=

1

1+x2

，所以定义域为R，关于原点对称…（2分）
因为f(-x)=

1

1+(-x)2

=

1

1+x2

=f(x)，
所以函数f（x）为偶函数．…（6分）
（2）在区间（-∞，0）上任取x₁＜x₂＜0，
则f(x1)-f(x2)=

1

1+ x 2 1

-

1

1+ x 2 2

=

x 2 2 - x 2 1

(1+ x 2 1 )(1+ x 2 2 )

=

(x1+x2)(x2-x1)

(1+ x 2 1 )(1+ x 2 2 )

，
因为x₁＜x₂＜0，所以x₁+x₂0，
所以f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），所以函数f（x）在（-∞，0）上是增函数．

点评：本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，要求熟练掌握利用定义法去判断和证明函数的性质．