Question

（08年青岛市质检二文）(14分) 已知、是椭圆的左、右焦点，为坐标原点，点在椭圆上，线段与轴的交点满足；

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）过椭圆的右焦点作直线交椭圆于、两点，交轴于点，若，求的值．

Answer 1

解析：（I）  点是线段的中点  是的中位线 ,

    又， 

    椭圆的标准方程为 

（II）方法一，设点的坐标分别为，又易知点的坐标为（2，0）.

    

    

     去分母整理

     同理由可得：

     是方程的两个根

方法二：设点的坐标分别为.又易知点的坐标为（2，0）.

显然直线存在斜率，设直线的斜率为，则直线的方程是.

将直线的方程代入到椭圆的方程中，消去并整理得

又，将各点坐标代入得：