Question

已知α∈(0，π］，求证：2sin2α≤.

Answer 1

证法一：(作差比较法)

2sin2α－＝4sinαcosα－

＝.

∵α∈(0，π)，

∴sinα＞0，1－cosα＞0，(2cosα－1)²≥0.

∴2sin2α－≤0.∴2sin2α≤.

证法二：(分析法)

要证明2sin2α≤成立，

只要证明4sinαcosα≤.

∵α∈(0，π)，∴sinα＞0.

只要证明4cosα≤.

上式可变形为4≤＋4(1－cosα).

∵1－cosα＞0，

∴＋4(1－cosα)≥2＝4，

当且仅当cosα＝，即α＝时取等号.

∴4≤＋4(1－cosα)成立.

∴不等式2sin2α≤成立.

证法三：(综合法)

∵＋4(1－cosα)≥4，(1－cosα＞0，当且仅当cosα＝即α＝时取等号)

∴4cosα≤.∵α∈(0，π)，∴sinα＞0.

∴4sinαcosα≤.∴2sin2α≤.

点评：应体会三种证法的特点及优缺点.