Question

成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{b_n}中的b₃、b₄、b₅。
（1）求数列{b_n}的通项公式；
（2）数列{b_n}的前n项和为S_n，求证：数列是等比数列。

Answer 1

解：（1）设成等差数列的三个正数分别为a-d，a，a+d。
依题意，得a-d+a+a+d=15，解得a=5
所以{b_n}中的b₃，b₄，b₅依次为7-d，10，18+d
依题意，有（7-d）（18+d） =100，解得d=2或d=-13（舍去）
故{b_n}的第3项为5，公比为2
由b₃=b₁·2²，即5=b₁·2²，解得。
所以{b_n}是以为首项，2为公比的等比数列，
其通项公式为。
（2）数列{b_n}的前n项和
即S_n+
∴
因此是以为首项，公比为2的等比数列。